半順序 (poset)
partial order。poset
反對稱律$ x\le y且つ$ y\le xならば$ x=y 上界 (upper bound) : $ Aの要素とはかぎらない元$ xが$ Aの上界であるとは、$ \forall y_{\in A}(y\le x)である事を言ふ
上界が存在するならば、上に有界である (上から抑へられる。bounded from above) と言ふ
下界 (lower bound) : $ Aの要素とはかぎらない元$ xが$ Aの下界であるとは、$ \forall y_{\in A}(x\le y)である事を言ふ
下界が存在するならば、下に有界である (下から押さへられる。bounded from below) と言ふ
上限 (supremum。最小上界 (least upper bound)) :$ Aの上限$ \sup Aとは、$ Aの上界全體の成す集合の最小元が存在すればそれを言ふ。存在するならば一意に決まる
下限 (infimum。最大下界 (greatest lower bound)) :$ Aの下限$ \inf Aとは、$ Aの下界全體の成す集合の最大元が存在すればそれを言ふ。存在するならば一意に決まる
最大元 (maximum element) :$ Aの最大元$ \max Aとは、上界でありかつ$ Aの要素が存在すればそれを言ふ。存在するならば一意に決まる
最小元 (minimum element) :$ Aの最小元$ \min Aとは、下界でありかつ$ Aの要素が存在すればそれを言ふ。存在するならば一意に決まる
極大元 (maximal element) : 元$ x_{\in A}が$ Aの極大元であるとは、$ \neg\exist y_{\in A}(x<y)である事を言ふ
極小元 (minimal element) : 元$ x_{\in A}が$ Aの極小元であるとは、$ \neg\exist y_{\in A}(y<x)である事を言ふ
上方集合 (upper set。上向きに閉じてゐる集合 (upward closed set)。upset。isotone set) : 集合$ U_{\subseteq A}が$ Aの上方集合であるとは、$ \forall u_{\in U}\forall x_{\in A}(u\le x\supset x\in U)である事を言ふ 下方集合 (lower set。下向きに閉じてゐる集合 (downward closed set)。down set。decreasing set。始切片 (initial segment)。semi-ideal) : 集合$ L_{\subseteq A}が$ Aの下方集合であるとは、$ \forall l_{\in L}\forall x_{\in A}(x\le l\supset x\in L)である事を言ふ 上方閉包 (upper closure。upward closure)$ x^{\uarr X},$ \uarr x
半順序 (poset)$ (X,\le)に於ける元$ xの上方閉包とは$ x^{\uarr X}:=\{u|u\in X,x\le u\}=\{x\}^{\uarr X}を言ふ 半順序 (poset)$ (X,\le)に於ける部分集合$ A_{\subseteq X}の上方閉包とは$ A^{\uarr X}:=\bigcup_{x\in A}x^{\uarr X}を言ふ 下方閉包 (lower closure。downward closure)$ x^{\darr X},$ \darr x
半順序 (poset)$ (X,\le)に於ける元$ xの下方閉包とは$ x^{\darr X}:=\{l|l\in X,l\le x\}=\{x\}^{\darr X}を言ふ 半順序 (poset)$ (X,\le)に於ける部分集合$ A_{\subseteq X}の下方閉包とは$ A^{\darr X}:=\bigcup_{x\in A}x^{\darr X}を言ふ $ \forall x,y_{\in F}\exist z_{\in F}(z\le x\land z\le y)。$ Fは filter 基である。$ Fは雙對順序が有向集合である $ \forall x_{\in F}\forall y_{\in P}(x\le y\supset y\in F)上方集合
$ \forall x,y_{\in I}\exist z_{\in F}(x\le z\land y\le z)
$ \forall x_{\in I},y_{\in P}(y\le x\supset y\in I)下方集合